Неформально о формальной непрерывной логике

Попробуйте решить такую задачу. Установлено следующее. Утверждение 1: если школьник X имеет кое-какие навыки программирования на компьютере И поиска информации в Интернете, то он выберет специальность по IT. Утверждение 2: если школьник X недолюбливает гуманитарные науки ИЛИ полагает, что IT сулит достойный заработок, то он также выберет специальность по IT. Вопрос: в какой степени истинно утверждение A, что школьник X станет айтишником?

Ясно, что истинность утверждения A не абсолютная, так как истинность предпосылок не абсолютная. Читатели, думается, понимают, что задача не решается в рамках дискретной формальной логики, поскольку аргументы имеют непрерывные значности в интервале [0...1]. Тут требуется оценка аргументов и иная логика – непрерывная (НЛ).

НЛ является расширением многозначной логики (МЛ), и впервые была построена Я. Лукасевичем во второй половине 20-ых годов прошлого столетия на базе МЛ, открытой им на рубеже 12-13-годов. Это теперь пишут «естественное расширение», а первопроходцу понадобилось более 10-и лет, чтобы найти доказательства правомочности такого расширения. Лукасевич строил и исследовал различные непротиворечивые МЛ, обладающие свойством функциональной полноты. При исследовании новых логик, полученных наращиванием значности, Лукасевичем была обнаружена внутренняя зеркальная симметрия значностей, возникающая каждый раз после их ранжирования в порядке возрастания или убывания их силы (способности поглощать другие значностей при конъюнкции или дизъюнкции). Симметрия эта выражается в том, что значности, равноотстоящие от своих предельных величин, можно рассматривать, как взаимные отрицания. Например, если значность a входит в МЛ, представленной значностями {0,i, …, j,1} и имеет порядковый индекс k, считая от минимальной значности в порядке возрастания, то в полнофункциональной МЛ всегда присутствует значность 1-a c тем же индексом, считая от максимальной значности в порядке убывания. Другими словами i&j=0. Доказательство справедливости этого утверждения не тривиальное и было найдено позже, но Лукасевич с помощью метода математической индукции обобщил его для произвольного n n-значной логики.

Именно свойство внутренней симметрии полнофункциональной МЛ позволило Лукасевичу построить непротиворечивую полнофункциональную НЛ и исследовать её. НЛ Лукасевича работает со значностями в интервале всех чисел [0...1], при этом отрицание аргумента со значностью a равно 1-a. Лукасевичем было также показано, что законы дискретной логики (как двухзначной, так и МЛ) являются частными случаями законов НЛ.

В НЛ Лукасевича, как и в МЛ, по-прежнему дизъюнктор выбирает аргумент с максимальной значностью, а конъюнктор выбирает аргумент с минимальной значностью. Совместно с определением отрицания выводятся все остальные законы формальной НЛ Лукасевича.

Логики Лукасевича построены в базисе дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Но этот базис далеко не единственный, на котором можно строить логики. Прежде всего это зависит от того, как постулируется отрицание. Эмиль Пост разработал (однако, позже, чем Лукасевич) свою логику, в которых отрицание определено, как циклическая перестановка значности аргумента, и доказал полнофункциональность такой логики в базисе дизъюнкции и цикла. Позднее было предложено ещё несколько МЛ (Бочвар, Гёдель, Клини) в других базисах, и затем многочисленными соискателями были предприняты попытки их расширения в НЛ. Однако, по мнению большинства математиков, при интерпретации значностей аргументов, как относительных экспертных оценок, реальности наиболее адекватна именно НЛ Лукасевича, а не альтернативные НЛ. Впоследствии успех НЛ Лукасевича обусловил её распространение на произвольный отрезок чисел [A … B], о чём можно почитать здесь.

Вернёмся к нашей задаче, считая, что аргументы в результате мероприятий «установлено» оценены. Утверждение 1: если Х программирует (0,75) И «гуглит» (0,6), то выберет IT. Утверждение 2: если X не лирик (0,5) ИЛИ прагматик (0,7), то также выберет IT-специальность. По Лукасевичу степень истинности 1-го утверждения равна 0,6, а 2-го – 0,7. Оговорка «по Лукасевичу» является чрезвычайно важной. В других НЛ истинности утверждений могут иметь иные значения, а то и вовсе не вычисляться (по Б. Расселу). Кроме того, так как утверждения 1 и 2 имеют разные степени истинности, то требуется уточнение.

Такое уточнение было предложено и теоретически обосновано E. Шортлиффом. По Шортлиффу всякую новую информацию можно сочетать со старыми результатами. Сущность уточнения состоит в смещении истинности совместного утверждения в сторону абсолютной истинности (при непротиворечии!) на расстояние, зависящее от степени ложности нового утверждения. Смещение вычисляется, как произведение истинности принятого утверждения на ложность нового утверждения. Отсюда уточнённая степень истинности того, что X станет айтишником:

0,6 + 0,7*(1-0,6) = 0,88.

В нашей задаче не имеет значения, какое из утверждений считать старым, а какое новым. От этого уточнённая степень истинности не меняется; как видим:

0,7 + 0,6(1-0,7) = 0,88.

Любопытно, что некоторыми авторами предложены вычислители, называемые реляторами, способные работать в НЛ Лукасевича (Л.И. Волгин, Кувшинов). Схемы представляют собой аналоговые компараторы, управляющие КМОП-ключами, пропускающими на выход нужную аналоговую величину. Но гораздо проще обходиться старыми добрыми конструкциями if-then-else. :)

Казалось бы, в НЛ Лукасевича всё без проблем – подставляй значности аргументов и вычисляй. Ан нет. Фишка в том, что на практике численные значения аргументов обычно априорно неизвестны; более того – нередко принципиально не могут быть известны точно. Зато могут быть известны интервалы, в которых аргументы поддаются оценке. Тут мы переходим в несколько иную недвухзначную формальную логику. Именно она и нашла широкое применение в самых различных технологиях. Об этом в следующей статье.

Версия для печатиВерсия для печати

Рубрики: 

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Всего голосов: 0
Заметили ошибку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter!

Комментарии

Страницы

Аватар пользователя mike

прямоугольника в реальности просто нет!

А кривоугольники есть? :)

Мало того - чисел нет! Вот две коровы или два авто есть - а числа два в реальности нет!  - "чего не схватишься, а его и нет" (С)

Да и Логика бывает вообще без единой аксиомы!!! - ибо это не реальность, а выдумки всё - потому всё можно и помыслить - ограничений на помысленние нет! 

Число нейронов, как ты не раз писал, у человека в голове ограничено, а он всё равно может помыслить бесконечность! - мало того, что помыслить может, он с бесконечностью может и оперировать! 

Часто проблема не в том, что помыслить нельзя, а в том - куда это помысленние применить в реальности - вот и Лукасевич постоянно об этом думал, создавая свои Логики!

Аватар пользователя mike

Логика бывает вообще без единой аксиомы!!!

Да. Например, бытовая логика. Но не как инструмент формализации. Если тебе нужен цитатник, позволяющий блесТнуть на рауте, то вот. :)

Аватар пользователя mike

2leo3 Я отправил вам в личку одну ссылку на документ; возможно, он вам известен, но на всякий случай. Здесь он тоже выложен, но криво. Интересует ваше мнение о предмете.

mike > Например, бытовая логика.

Неверно. В бытовой (она же логика зравого смысла) логике полно табу(аксиом).

>Но не как инструмент формализации.

Неверно. Есть три варианта в задании аксиом и правил вывода:

1)  В множестве формул выделяется подмножество аксиом, и задается конечное число правил вывода — таких правил, с помощью которых (и только с помощью их) из аксиом и ранее выведенных теорем можно образовать новые теоремы -> (формальная аксиоматическая теория, формальное (логическое) исчисление).

2) Задаются только аксиомы, правила вывода считаются общеизвестными. - > Геометрия.

3) Аксиом нет (множество аксиом пусто), задаются только правила вывода ->частный случай формальной, но имеет собственное название: теория естественного вывода.


mike> Если тебе нужен цитатник, позволяющий блесТнуть на рауте, то вот. :)

Так есть же википедия! Wink

Аватар пользователя mike

Логик, "вики" пишут, кому не лень. Ты надёргал цитат и считаешь их  аргументами. В "вики" порою пишут глупости:

Задаются только аксиомы, правила вывода считаются общеизвестными.
При таком задании теорем говорят, что задана полуформальная аксиоматическая теория.
[править]
Примеры -- Геометрия

Если бы это было так, то школьников и учить не надо бы было. Зачем? Ведь правила вывода общеизвестны! Обрати внимание на ремарку "править". :)

Аватар пользователя mike

табу(аксиом)

Табу -- это не аксиома. Табу -- это принуждение, которое, кстати, можно и нарушить, если никто не видит, хехе. 

 

mike> Логик, "вики" пишут, кому не лень.

Дело не в вики. Дело в математике. Тут ты волен править как пожелаешь. Уже не время Лобачевского - 21 век на дворе - тебя никто не будет ругать и гнобить за то, что твоя логика, геометрия, математика, арифметика ...  не реальная(!).

В этом суть моих высказываний! - А вики - как цитатник, как пример того, что это бывает. Или может быть.

Истина или ложь? - Истина, возможность или ложь?  - бесконечное количество значений от истины до лжи? - ты волен придумать(!) любую математику - и никто тебя не осудит. - И это достижение 20 века. Вот в чём суть я тебе толкую!!!

>Табу -- это не аксиома. Табу -- это принуждение, которое, кстати, можно и нарушить, если никто не видит, хехе.

А аксиомы можно отбросить, если они тебе мешают. - Все отбросить или выборочно! Smile

Страницы