Неформально о формальной непрерывной логике

Попробуйте решить такую задачу. Установлено следующее. Утверждение 1: если школьник X имеет кое-какие навыки программирования на компьютере И поиска информации в Интернете, то он выберет специальность по IT. Утверждение 2: если школьник X недолюбливает гуманитарные науки ИЛИ полагает, что IT сулит достойный заработок, то он также выберет специальность по IT. Вопрос: в какой степени истинно утверждение A, что школьник X станет айтишником?

Ясно, что истинность утверждения A не абсолютная, так как истинность предпосылок не абсолютная. Читатели, думается, понимают, что задача не решается в рамках дискретной формальной логики, поскольку аргументы имеют непрерывные значности в интервале [0...1]. Тут требуется оценка аргументов и иная логика – непрерывная (НЛ).

НЛ является расширением многозначной логики (МЛ), и впервые была построена Я. Лукасевичем во второй половине 20-ых годов прошлого столетия на базе МЛ, открытой им на рубеже 12-13-годов. Это теперь пишут «естественное расширение», а первопроходцу понадобилось более 10-и лет, чтобы найти доказательства правомочности такого расширения. Лукасевич строил и исследовал различные непротиворечивые МЛ, обладающие свойством функциональной полноты. При исследовании новых логик, полученных наращиванием значности, Лукасевичем была обнаружена внутренняя зеркальная симметрия значностей, возникающая каждый раз после их ранжирования в порядке возрастания или убывания их силы (способности поглощать другие значностей при конъюнкции или дизъюнкции). Симметрия эта выражается в том, что значности, равноотстоящие от своих предельных величин, можно рассматривать, как взаимные отрицания. Например, если значность a входит в МЛ, представленной значностями {0,i, …, j,1} и имеет порядковый индекс k, считая от минимальной значности в порядке возрастания, то в полнофункциональной МЛ всегда присутствует значность 1-a c тем же индексом, считая от максимальной значности в порядке убывания. Другими словами i&j=0. Доказательство справедливости этого утверждения не тривиальное и было найдено позже, но Лукасевич с помощью метода математической индукции обобщил его для произвольного n n-значной логики.

Именно свойство внутренней симметрии полнофункциональной МЛ позволило Лукасевичу построить непротиворечивую полнофункциональную НЛ и исследовать её. НЛ Лукасевича работает со значностями в интервале всех чисел [0...1], при этом отрицание аргумента со значностью a равно 1-a. Лукасевичем было также показано, что законы дискретной логики (как двухзначной, так и МЛ) являются частными случаями законов НЛ.

В НЛ Лукасевича, как и в МЛ, по-прежнему дизъюнктор выбирает аргумент с максимальной значностью, а конъюнктор выбирает аргумент с минимальной значностью. Совместно с определением отрицания выводятся все остальные законы формальной НЛ Лукасевича.

Логики Лукасевича построены в базисе дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Но этот базис далеко не единственный, на котором можно строить логики. Прежде всего это зависит от того, как постулируется отрицание. Эмиль Пост разработал (однако, позже, чем Лукасевич) свою логику, в которых отрицание определено, как циклическая перестановка значности аргумента, и доказал полнофункциональность такой логики в базисе дизъюнкции и цикла. Позднее было предложено ещё несколько МЛ (Бочвар, Гёдель, Клини) в других базисах, и затем многочисленными соискателями были предприняты попытки их расширения в НЛ. Однако, по мнению большинства математиков, при интерпретации значностей аргументов, как относительных экспертных оценок, реальности наиболее адекватна именно НЛ Лукасевича, а не альтернативные НЛ. Впоследствии успех НЛ Лукасевича обусловил её распространение на произвольный отрезок чисел [A … B], о чём можно почитать здесь.

Вернёмся к нашей задаче, считая, что аргументы в результате мероприятий «установлено» оценены. Утверждение 1: если Х программирует (0,75) И «гуглит» (0,6), то выберет IT. Утверждение 2: если X не лирик (0,5) ИЛИ прагматик (0,7), то также выберет IT-специальность. По Лукасевичу степень истинности 1-го утверждения равна 0,6, а 2-го – 0,7. Оговорка «по Лукасевичу» является чрезвычайно важной. В других НЛ истинности утверждений могут иметь иные значения, а то и вовсе не вычисляться (по Б. Расселу). Кроме того, так как утверждения 1 и 2 имеют разные степени истинности, то требуется уточнение.

Такое уточнение было предложено и теоретически обосновано E. Шортлиффом. По Шортлиффу всякую новую информацию можно сочетать со старыми результатами. Сущность уточнения состоит в смещении истинности совместного утверждения в сторону абсолютной истинности (при непротиворечии!) на расстояние, зависящее от степени ложности нового утверждения. Смещение вычисляется, как произведение истинности принятого утверждения на ложность нового утверждения. Отсюда уточнённая степень истинности того, что X станет айтишником:

0,6 + 0,7*(1-0,6) = 0,88.

В нашей задаче не имеет значения, какое из утверждений считать старым, а какое новым. От этого уточнённая степень истинности не меняется; как видим:

0,7 + 0,6(1-0,7) = 0,88.

Любопытно, что некоторыми авторами предложены вычислители, называемые реляторами, способные работать в НЛ Лукасевича (Л.И. Волгин, Кувшинов). Схемы представляют собой аналоговые компараторы, управляющие КМОП-ключами, пропускающими на выход нужную аналоговую величину. Но гораздо проще обходиться старыми добрыми конструкциями if-then-else. :)

Казалось бы, в НЛ Лукасевича всё без проблем – подставляй значности аргументов и вычисляй. Ан нет. Фишка в том, что на практике численные значения аргументов обычно априорно неизвестны; более того – нередко принципиально не могут быть известны точно. Зато могут быть известны интервалы, в которых аргументы поддаются оценке. Тут мы переходим в несколько иную недвухзначную формальную логику. Именно она и нашла широкое применение в самых различных технологиях. Об этом в следующей статье.

Версия для печатиВерсия для печати

Рубрики: 

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Всего голосов: 0
Заметили ошибку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter!

Комментарии

Страницы

Аватар пользователя mike

Кстати, Эмиль Пост -- тоже уроженец славянской земли. Совсем недалеко от Гродно.

Аватар пользователя Petro42

В интернете, в принципе, не найти то, о чём вы пишете. 

P.S Уверен, что и в Барановичах немало умных людей. 

Аватар пользователя mike

В интернете, в принципе, не найти то, о чём вы пишете.

Да ну?! :) Лежит, правда, в основном, в pdf-ах, есть немало и на русском; списки литературы тоже есть -- "не гуглом единым", добро пожаловать в библиотеку. Ну не с головы же я всё это взял. + формальной логикой я ещё студнем увлекался, бзик такой.

Уверен, что и в Барановичах немало умных людей.

Иронизируете, да? Несомненно. И не только там. Везде! Для жителей мегаполисов и деревень гистограммы IQ одинаковы. Более того, они одинаковы и для англосаксов, и для славян. Но менталитет разный.

>НЛ является расширением многозначной логики (МЛ), и впервые была построена Я. Лукасевичем во второй половине 20-ых годов прошлого столетия на базе МЛ, открытой им на рубеже 12-13-годов.

Логика НЕ имеет законов, которые можно ОТКРЫТЬ. Нет в ней и каких-то Oсновных Законов.

Поэтому фраза тогда должна быть такая: "...на базе МЛ, придуманной(разработанной) им на рубеже 12-13-годов."


Имхо, конечно, имхо.


Аватар пользователя mike

Отчасти Логик прав. Логика (любая!)  строится (разрабатывается, придумывается) в базисе логических операций посредством системы аксиом (или таблично, если это возможно). Однако некоторые из придуманных логик оказываются существующими в жизни. Поэтому я написал об открытии и  привёл реальные примеры. Как известно, изобрести (придумать) можно много чего, но открыть  можно только то, что реально существует. К МЛ Лукасевича подтолкнули  жизненные примеры, не укладывающиеся в логику Аристотеля.

Логика НЕ имеет законов

Да. Но только у недобросовестных и/или безграмотных судей.

>Однако некоторые из придуманных логик оказываются существующими в жизни.

Этого не может быть. Логика, как часть математики, не уществует в реальности. Она просто(или/и непросто) выдумана. - Да и вся математика - как наука оперирующая числами, оперирует тем, чего нет в реальной жизни.

Следствие - ни в математике, ни в логике нельзя проводит эксперименты - то есть нельзя доказать теорему с помощью эксперимента.

>Поэтому я написал об открытии и  привёл реальные примеры. Как известно, изобрести (придумать) можно много чего, но открыть  можно только то, что реально существует. К МЛ Лукасевича подтолкнули  жизненные примеры, не укладывающиеся в логику Аристотеля.

Жизненные примеры могут подтолкнуть к чему угодно. К изобретение, к придумыванию способов как предусмотреть, как предугадать то или иное действие, явление и прочее.

Жизненные примеры не могут служить ни обоснованием в математике(логике) ни доказательством в математике(логике) - с их помощью можно только более-менее типа наглядно(!) показать применимость(!!!) математики(логики) в реальной жизни. НЕ более того. Не более.

Имхо, конечно, имхо.

Аватар пользователя mike

 Логика ... не уществует в реальности. Вся математика ... оперирует тем, чего нет в реальной жизни. (И т.д.)

Конечно, конечно. Наслышаны. В компе электроны, и управляет ими Бог.

>Конечно, конечно. Наслышаны. В компе электроны, и управляет ими Бог.

Математика(и логика как её часть) занимается только числами.

Математика(и логика как её часть) НЕ занимается электронами.

Электроны, как и компы - не есть предмет математики.


О, мама мия. Frown

Аватар пользователя mike

Математика(и логика как её часть) занимается только числами.

Правильно! Кроме арифметики математики нет. 

Математика(и логика как её часть) НЕ занимается электронами.

Верно! В компе не математика, там электроны. И дырки иногда. для вентиляции.

компы - не есть предмет математики.

Точно. Это средство обогащения некоторых фирм.

О, мама мия.

Неверно. Правильно "мамма миа".


>роме арифметики математики нет. 

Ну, хорошо - математическими(!) - то есть нереальными - объектами. 

Хотя в основании математики лежит арифметика. ;-)

Фундамент такой у неё. 

Страницы