Неформально о формальной непрерывной логике

Попробуйте решить такую задачу. Установлено следующее. Утверждение 1: если школьник X имеет кое-какие навыки программирования на компьютере И поиска информации в Интернете, то он выберет специальность по IT. Утверждение 2: если школьник X недолюбливает гуманитарные науки ИЛИ полагает, что IT сулит достойный заработок, то он также выберет специальность по IT. Вопрос: в какой степени истинно утверждение A, что школьник X станет айтишником?

Ясно, что истинность утверждения A не абсолютная, так как истинность предпосылок не абсолютная. Читатели, думается, понимают, что задача не решается в рамках дискретной формальной логики, поскольку аргументы имеют непрерывные значности в интервале [0...1]. Тут требуется оценка аргументов и иная логика – непрерывная (НЛ).

НЛ является расширением многозначной логики (МЛ), и впервые была построена Я. Лукасевичем во второй половине 20-ых годов прошлого столетия на базе МЛ, открытой им на рубеже 12-13-годов. Это теперь пишут «естественное расширение», а первопроходцу понадобилось более 10-и лет, чтобы найти доказательства правомочности такого расширения. Лукасевич строил и исследовал различные непротиворечивые МЛ, обладающие свойством функциональной полноты. При исследовании новых логик, полученных наращиванием значности, Лукасевичем была обнаружена внутренняя зеркальная симметрия значностей, возникающая каждый раз после их ранжирования в порядке возрастания или убывания их силы (способности поглощать другие значностей при конъюнкции или дизъюнкции). Симметрия эта выражается в том, что значности, равноотстоящие от своих предельных величин, можно рассматривать, как взаимные отрицания. Например, если значность a входит в МЛ, представленной значностями {0,i, …, j,1} и имеет порядковый индекс k, считая от минимальной значности в порядке возрастания, то в полнофункциональной МЛ всегда присутствует значность 1-a c тем же индексом, считая от максимальной значности в порядке убывания. Другими словами i&j=0. Доказательство справедливости этого утверждения не тривиальное и было найдено позже, но Лукасевич с помощью метода математической индукции обобщил его для произвольного n n-значной логики.

Именно свойство внутренней симметрии полнофункциональной МЛ позволило Лукасевичу построить непротиворечивую полнофункциональную НЛ и исследовать её. НЛ Лукасевича работает со значностями в интервале всех чисел [0...1], при этом отрицание аргумента со значностью a равно 1-a. Лукасевичем было также показано, что законы дискретной логики (как двухзначной, так и МЛ) являются частными случаями законов НЛ.

В НЛ Лукасевича, как и в МЛ, по-прежнему дизъюнктор выбирает аргумент с максимальной значностью, а конъюнктор выбирает аргумент с минимальной значностью. Совместно с определением отрицания выводятся все остальные законы формальной НЛ Лукасевича.

Логики Лукасевича построены в базисе дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Но этот базис далеко не единственный, на котором можно строить логики. Прежде всего это зависит от того, как постулируется отрицание. Эмиль Пост разработал (однако, позже, чем Лукасевич) свою логику, в которых отрицание определено, как циклическая перестановка значности аргумента, и доказал полнофункциональность такой логики в базисе дизъюнкции и цикла. Позднее было предложено ещё несколько МЛ (Бочвар, Гёдель, Клини) в других базисах, и затем многочисленными соискателями были предприняты попытки их расширения в НЛ. Однако, по мнению большинства математиков, при интерпретации значностей аргументов, как относительных экспертных оценок, реальности наиболее адекватна именно НЛ Лукасевича, а не альтернативные НЛ. Впоследствии успех НЛ Лукасевича обусловил её распространение на произвольный отрезок чисел [A … B], о чём можно почитать здесь.

Вернёмся к нашей задаче, считая, что аргументы в результате мероприятий «установлено» оценены. Утверждение 1: если Х программирует (0,75) И «гуглит» (0,6), то выберет IT. Утверждение 2: если X не лирик (0,5) ИЛИ прагматик (0,7), то также выберет IT-специальность. По Лукасевичу степень истинности 1-го утверждения равна 0,6, а 2-го – 0,7. Оговорка «по Лукасевичу» является чрезвычайно важной. В других НЛ истинности утверждений могут иметь иные значения, а то и вовсе не вычисляться (по Б. Расселу). Кроме того, так как утверждения 1 и 2 имеют разные степени истинности, то требуется уточнение.

Такое уточнение было предложено и теоретически обосновано E. Шортлиффом. По Шортлиффу всякую новую информацию можно сочетать со старыми результатами. Сущность уточнения состоит в смещении истинности совместного утверждения в сторону абсолютной истинности (при непротиворечии!) на расстояние, зависящее от степени ложности нового утверждения. Смещение вычисляется, как произведение истинности принятого утверждения на ложность нового утверждения. Отсюда уточнённая степень истинности того, что X станет айтишником:

0,6 + 0,7*(1-0,6) = 0,88.

В нашей задаче не имеет значения, какое из утверждений считать старым, а какое новым. От этого уточнённая степень истинности не меняется; как видим:

0,7 + 0,6(1-0,7) = 0,88.

Любопытно, что некоторыми авторами предложены вычислители, называемые реляторами, способные работать в НЛ Лукасевича (Л.И. Волгин, Кувшинов). Схемы представляют собой аналоговые компараторы, управляющие КМОП-ключами, пропускающими на выход нужную аналоговую величину. Но гораздо проще обходиться старыми добрыми конструкциями if-then-else. :)

Казалось бы, в НЛ Лукасевича всё без проблем – подставляй значности аргументов и вычисляй. Ан нет. Фишка в том, что на практике численные значения аргументов обычно априорно неизвестны; более того – нередко принципиально не могут быть известны точно. Зато могут быть известны интервалы, в которых аргументы поддаются оценке. Тут мы переходим в несколько иную недвухзначную формальную логику. Именно она и нашла широкое применение в самых различных технологиях. Об этом в следующей статье.

Версия для печатиВерсия для печати

Рубрики: 

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Всего голосов: 0
Заметили ошибку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter!

Комментарии

Страницы

Аватар пользователя mike

Множество Мандельброта было описано в 1905 году. ;-)

Опять передёргиваешь. Тогда оно так не называлось. Первоописатель никогда не видел его, т.к. требовалось громадное кол-во вычислений. Без компа -- только формулы. Мандельброт первым увидел его. С помощью компа.

Ай, спорить с тобой -- только время терять. Адьё!

>Опять передёргиваешь. Тогда оно так не называлось. Первоописатель никогда не видел его, т.к. требовалось громадное кол-во вычислений. Без компа -- только формулы. Мандельброт первым увидел его. С помощью компа.

Ага, не видел. - Так многие первоописатели НЕ видели и так и НЕ увидели свои множества. - Что из этого?

Вот ты, множество Мандельброта не слышал? - Не слышал. И никто не слышал. - Но его же можно перевести в звуки и что тогда? - Это что-то меняет? - Ничего.

Визуализация математических выражений, объектов - это конечно интересно и любопытно - тем кто имеет глаза -  но это ничего не меняет в самой математике. - Ничего. - Ибо математика - это чисто ВЫДУМАННАЯ наука и к реальности не имеющая никакого отношения. Никакого.

P.S. - Взять к примеру топологию. - Там часто рисуют картинки - чашки, бутылки и прочее... - Но эти картинки ничего не доказывают. Они нужны только и только для визуализации математических образов тем, кто не силён в математике и не может что-то в ней делать не воображая, к примеру, бутылку Клейна.

Имхо, конечно, имхо.

Картину художника можно загнать в комп.

Затем, написать алгоритмы для её обработки. И комп будет её изменять. - Но художник так не работает, так не рисует. - Он не оперирует пикселями и кодовым обозначением цвета, насыщенности, прозрачности.

Так и в математике - можно что-то себе вообразить, зрительно или слушательно, - можно написать, что типа "интуитивно считаешь эту гипотизу верной" и прочее - но это всё никак не является чем-то доказательным в математике. - Хотя этим и пользуются. Математики. - Но суть о математики не в этом. Суть в том, что все объекты математики есть выдуманные идеальные объекты, не имеющие никакого отношения к реальному миру - никакого.

Имхо.

Аватар пользователя mike

математика - это чисто ВЫДУМАННАЯ наука и к реальности не имеющая никакого отношения.

Ты хочешь прослыть оргиналом? Рискуешь неслабо. Не требуй сдачу в магазине, ибо это всё выдумка -- математические операции.

Нарисуй прямоугльник точек, например,  3*4. Поверни его на 90 градусов. Получится прямоугльник, но 4*3. Количество точек то же? А что изменилось? Поинт оф вью. Поздравляю! Ты только что экспериментально проверил перестановочный закон при умножении. Tongue Out

Ну нет мне времени с тобой спорить, в командировку надо собираться.

Аватар пользователя leo3

Отношение математики к реальности - вопрос очень сложный. Современная физика например насквозь пифагорейская и вульгарнейшим образом материализует математику. Это, я думаю, неверно. Но и утверждать, что математика не имеет отношения к реальности - неверно. Математика имеет отношение к информации о мире, а также логике его организации и функционирования... то есть - некий язык природы, понятный разуму... Едва ли не Логик утверждал, что черные дыры - суть реально существующие объекты. Тут Логик противречит сам себе ибо черные дыры - суть чисто математический объект и никаких экспериметнальных (настоящих, прямых) доказательств их существования нет и не может быть по определению самих этих объектов... Более того, нам совершенно точно известно, что математика, породившая черные дыры - неполна. То есть, она не включает квантовых предствалений о микромире... Это просто геометрия... Таким образом, существование черных дыр в смысле материализации решения уравнения Эйнштейна предельно сомнительно... но современная наука же в это верит... практически свято... А ты говоришь - математике не имеет отношения к реальности...

>перестановочный закон умножения. 

Хм, зачем что-то рисовать - ты на пальцах изобрази законы сложения и умножения.

Но это ничего не доказывает - ибо нет чисел в реальности. Нету! 

Черные дыры реальные? - не знаю. Чего только в полемике не скажешь. Но сомневаюсь что это я утверждал. 

Ты же знаешь - "Всё есть текст". (C). 

;-)

Аватар пользователя mike

ты на пальцах изобрази законы сложения и умножения.

Что, нет аргументов? Ёрничать стал? Нет, дорогой, на пальцах для умножения не получиццо. На пальцах -- тока для сложения-вычитания, это в одномерном мире, да и пальцев маловато; впрочем, можно от пальцев перейти к непрерывной верёвочке; однако -- ЭКСПЕРИМЕНТ! Дык как -- сдачу оставляешь продавцу? :)))))))))))

 "Всё есть текст". (C). 

Ага. А логика -- "наука о тавтологиях". Тоже твой (C).

>Ага. А логика -- "наука о тавтологиях". Тоже твой (C).

Точнее - "Логика - наука о логических тавтологиях". (C).

>на пальцах для умножения не получиццо.

" метод рассказывает об умножении чисел 6, 7, 8, 9 -

Итак, правила счёта:

Один загнутый палец – это число 6, два пальца – 7, три пальца – число 8, четыре пальца – число 9.

Пример. Умножаем 6х6. Загибаем по пальцу на обеих руках.

Не согнутые пальцы умножаем друг на друга. 4х4=16. Согнутые принимаем за десятки, и складываем. Это 20. 20+16=36. Итого 6х6=36

Ну и далее: http://www.liveinternet.ru/users/4782390/post233242819/

Smile

А вообще, гугл в помощь: "умножение на пальцах"

Страницы