Неформально о формальной непрерывной логике

Попробуйте решить такую задачу. Установлено следующее. Утверждение 1: если школьник X имеет кое-какие навыки программирования на компьютере И поиска информации в Интернете, то он выберет специальность по IT. Утверждение 2: если школьник X недолюбливает гуманитарные науки ИЛИ полагает, что IT сулит достойный заработок, то он также выберет специальность по IT. Вопрос: в какой степени истинно утверждение A, что школьник X станет айтишником?

Ясно, что истинность утверждения A не абсолютная, так как истинность предпосылок не абсолютная. Читатели, думается, понимают, что задача не решается в рамках дискретной формальной логики, поскольку аргументы имеют непрерывные значности в интервале [0...1]. Тут требуется оценка аргументов и иная логика – непрерывная (НЛ).

НЛ является расширением многозначной логики (МЛ), и впервые была построена Я. Лукасевичем во второй половине 20-ых годов прошлого столетия на базе МЛ, открытой им на рубеже 12-13-годов. Это теперь пишут «естественное расширение», а первопроходцу понадобилось более 10-и лет, чтобы найти доказательства правомочности такого расширения. Лукасевич строил и исследовал различные непротиворечивые МЛ, обладающие свойством функциональной полноты. При исследовании новых логик, полученных наращиванием значности, Лукасевичем была обнаружена внутренняя зеркальная симметрия значностей, возникающая каждый раз после их ранжирования в порядке возрастания или убывания их силы (способности поглощать другие значностей при конъюнкции или дизъюнкции). Симметрия эта выражается в том, что значности, равноотстоящие от своих предельных величин, можно рассматривать, как взаимные отрицания. Например, если значность a входит в МЛ, представленной значностями {0,i, …, j,1} и имеет порядковый индекс k, считая от минимальной значности в порядке возрастания, то в полнофункциональной МЛ всегда присутствует значность 1-a c тем же индексом, считая от максимальной значности в порядке убывания. Другими словами i&j=0. Доказательство справедливости этого утверждения не тривиальное и было найдено позже, но Лукасевич с помощью метода математической индукции обобщил его для произвольного n n-значной логики.

Именно свойство внутренней симметрии полнофункциональной МЛ позволило Лукасевичу построить непротиворечивую полнофункциональную НЛ и исследовать её. НЛ Лукасевича работает со значностями в интервале всех чисел [0...1], при этом отрицание аргумента со значностью a равно 1-a. Лукасевичем было также показано, что законы дискретной логики (как двухзначной, так и МЛ) являются частными случаями законов НЛ.

В НЛ Лукасевича, как и в МЛ, по-прежнему дизъюнктор выбирает аргумент с максимальной значностью, а конъюнктор выбирает аргумент с минимальной значностью. Совместно с определением отрицания выводятся все остальные законы формальной НЛ Лукасевича.

Логики Лукасевича построены в базисе дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Но этот базис далеко не единственный, на котором можно строить логики. Прежде всего это зависит от того, как постулируется отрицание. Эмиль Пост разработал (однако, позже, чем Лукасевич) свою логику, в которых отрицание определено, как циклическая перестановка значности аргумента, и доказал полнофункциональность такой логики в базисе дизъюнкции и цикла. Позднее было предложено ещё несколько МЛ (Бочвар, Гёдель, Клини) в других базисах, и затем многочисленными соискателями были предприняты попытки их расширения в НЛ. Однако, по мнению большинства математиков, при интерпретации значностей аргументов, как относительных экспертных оценок, реальности наиболее адекватна именно НЛ Лукасевича, а не альтернативные НЛ. Впоследствии успех НЛ Лукасевича обусловил её распространение на произвольный отрезок чисел [A … B], о чём можно почитать здесь.

Вернёмся к нашей задаче, считая, что аргументы в результате мероприятий «установлено» оценены. Утверждение 1: если Х программирует (0,75) И «гуглит» (0,6), то выберет IT. Утверждение 2: если X не лирик (0,5) ИЛИ прагматик (0,7), то также выберет IT-специальность. По Лукасевичу степень истинности 1-го утверждения равна 0,6, а 2-го – 0,7. Оговорка «по Лукасевичу» является чрезвычайно важной. В других НЛ истинности утверждений могут иметь иные значения, а то и вовсе не вычисляться (по Б. Расселу). Кроме того, так как утверждения 1 и 2 имеют разные степени истинности, то требуется уточнение.

Такое уточнение было предложено и теоретически обосновано E. Шортлиффом. По Шортлиффу всякую новую информацию можно сочетать со старыми результатами. Сущность уточнения состоит в смещении истинности совместного утверждения в сторону абсолютной истинности (при непротиворечии!) на расстояние, зависящее от степени ложности нового утверждения. Смещение вычисляется, как произведение истинности принятого утверждения на ложность нового утверждения. Отсюда уточнённая степень истинности того, что X станет айтишником:

0,6 + 0,7*(1-0,6) = 0,88.

В нашей задаче не имеет значения, какое из утверждений считать старым, а какое новым. От этого уточнённая степень истинности не меняется; как видим:

0,7 + 0,6(1-0,7) = 0,88.

Любопытно, что некоторыми авторами предложены вычислители, называемые реляторами, способные работать в НЛ Лукасевича (Л.И. Волгин, Кувшинов). Схемы представляют собой аналоговые компараторы, управляющие КМОП-ключами, пропускающими на выход нужную аналоговую величину. Но гораздо проще обходиться старыми добрыми конструкциями if-then-else. :)

Казалось бы, в НЛ Лукасевича всё без проблем – подставляй значности аргументов и вычисляй. Ан нет. Фишка в том, что на практике численные значения аргументов обычно априорно неизвестны; более того – нередко принципиально не могут быть известны точно. Зато могут быть известны интервалы, в которых аргументы поддаются оценке. Тут мы переходим в несколько иную недвухзначную формальную логику. Именно она и нашла широкое применение в самых различных технологиях. Об этом в следующей статье.

Версия для печатиВерсия для печати

Рубрики: 

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Всего голосов: 0
Заметили ошибку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter!

Комментарии

Страницы

Аватар пользователя mike
>>>>>>>Логика - наука о логических тавтологиях<<<<<<<<<< Ещё раз: тавтология -- это высказывание, которое всегда истинно. Подставляем определение тавтологии и получаем: "Логика -- это наука о всегда истинных высказываниях". Аха хаха! Выходит, не всегда истинные высказывания -- не предмет логики и ею не изучаются. o_О А что до умножения на пальцах -- это развлекуха, не проверяющая никакого закона. Умножь 5 на 5. :)))))))

>тавтология -- это высказывание, которое всегда истинно.

Тавтология это высказывание типа "дождь либо будет либо нет". - Да, Логика и оперирует только и только логическими тавтологиями.

На логический вопрос: - Каждый месяц mike бывает в командировке один раз. В этом месяце он ещё не был в командировке. Поедет ли mike в командировку в этом месяце?" - Логика ответит используя свои законы о логических тавтологиях.

А вот человек не знакомый с законами логики, то есть законами о логических тавтологиях, скаже - "Нет, не поедет, потому что у него отпуск в этом месяце!"

В жизни обычной не нужна логика. В обычной жизни используется "житейская логика" - у неё нет законов и она не оперирует логическими тавтологиями. "Житейская логика" основывается на здравом смысле.

А логика не основывается на здравом смысле она занимается только и только логическими тавтологиями!

Логика. Учебное пособие. Издание 2-е

Логика. Учебное пособие. Издание 2-е
Название: Логика. Учебное пособие. Издание 2-е
Автор: Ивин Александр
Описание: Книга доступно, ясно и вместе с тем строго и систематично излагает основы логики науки о принципах правильного мышления. Главное внимание уделяется тому, чтобы дать общее представление о законах нашего мышления, показать логический анализ в действии, в применении к содержательно интересным проблемам, встречающимся в повседневной практике.

Книга предназначена для преподавателей и учителей, студентов и учащихся старших классов школ, гимназий, лицеев и колледжей, для широкого круга читателей, интересующихся логикой и, в частности, для тех, кто в силу обстоятельств никогда не изучал эту науку.

5. Логические тавтологии

В обычном языке слово «тавтология» означает повторение того, что уже было сказано: «Жизнь есть жизнь» или «Не повезет так не повезет».

Тавтологии бессодержательны и пусты, они не несут никакой информации. От них стремятся избавиться как от ненужного балласта, загромождающего речь и затрудняющего общение.

С легкой руки Л.Витгенштейна слово «тавтология» стало широко использоваться для характеристики законов логики.

Став логическим термином, оно получило строгие определения применительно к отдельным разделам логики. В общем случае логическая тавтология – это выражение, остающееся истинным независимо от того, о какой области объектов идет речь, или «всегда истинное выражение».

Все законы логики являются логическими тавтологиями. Если в формуле, представляющей закон, заменить переменные любыми постоянными выражениями соответствующей категории, эта формула превратится в истинное высказывание.

Например, в формулу «А или не-А», представляющую закон исключенного третьего, вместо переменной А должны подставляться высказывания, т.е. выражения языка, являющиеся истинными или ложными. Результаты таких постановок: «Дождь идет или не идет», «Два плюс два равно нулю или не равно нулю», «Бог существует или его нет» и тому подобное. Каждое из этих сложных высказываний является истинным. И какие бы дальнейшие высказывания ни подставлялись вместо А – как истинные, так и ложные, – результат будет тем же – полученное высказывание будет истинным.

Аналогично в случае формул, представляющих закон противоречия, закон тождества, закон двойного отрицания и т.д. «Неверно, что бог существует и не существует; дождь идет и не идет; что я иду быстро и не иду быстро» – все это высказывания, полученные из формулы: «Неверно, что А и не-А», и все они являются истинными. «Если бога нет, то его нет; если я иду быстро, то я иду быстро; если два равно нулю, то два равно нулю» – это результаты подстановок в формулу «Если А, то А» и опять-таки истинные высказывания.

Аватар пользователя mike
Логик, тебе давно пора перестать читать пособия для рабфаков, перейти на что-нить посерьёзнее и осознать, что логика работает с высказываниями, утверждениями и понятиями над пространствами множеств.

>логика работает с высказываниями, утверждениями и понятиями над пространствами множеств.

Пускай работает, но - Все законы логики являются логическими тавтологиями.

"Логика - это наука о логических тавтологиях" (С)

Cry

Аватар пользователя mike
Ндравится тебе повторяться -- имеешь право. Но твоё определение неприемлемо уже хотя бы потому, что истинность логического вывода может быть и частичной. А тавтология -- это всегда абсолютная истина. И, кстати, не во всех логиках соблюдается закон исключённого третьего. Твоё определение с большой натяжкой годится только для 2-значной логики. Дружеский совет: читай не только пособия для рабфаков.
Аватар пользователя mike

2Логик Да и свой цитатник Логика. Учебное пособие. Издание 2-е ты, видимо,  прочёл не полностью.  Там далее автор объясняет, почему нельзя определять логику, как науку о тавтологиях.

Логика -- это получение выводов по логическим данным. Точнее, изучение систем с истинностной фукциональностью.

>Там далее автор объясняет, почему нельзя определять логику, как науку о тавтологиях.

Точнее укажи где?

У него есть пассаж для тех индивидумов, типа тебя, которые реагируют на слово "тавтология" как бык на ... :

"Тавтологический характер законов логики послужил отправным пунктом для многих спекуляций по их поводу. Из тавтологии «Дождь идет или не идет» мы ничего не можем узнать о погоде..."

Ну и далее он пытается как-то утешить таких как ты индивидумов: "Тавтологии обычного языка нередко наполняются содержанием, пришедшим со стороны, и светят отраженным светом. Так же обстоит дело и с логическими тавтологиями.

Изолированная от других тавтологий, оторванная от языка и от истории познания, логическая тавтология блекнет и создает впечатление отсутствия всякого содержания..."

Более он ничего не может сказать о логических тавтологиях. - Но надо ли говорить? Smile

>Но твоё определение неприемлемо уже хотя бы потому, что истинность логического вывода может быть и частичной. А тавтология -- это всегда абсолютная истина.

Это не так!

" В двузначной классической логике термин "Тавтология" употребляется наравне с термином логический закон для обозначения общезначимых, всегда-истинных или тождественно-истинных, формул, инвариантных к фактическому содержанию (значениям) входящих в них переменных".

То есть логический закон и логическая тавтология в двузначной классической логике - тождественны!

Далее, нам надо "прокинуть" тавтология в многозначную логику!:

многозначной логике "Тавтологией" называют формулы, которые при любом наборе из принятой "обобщённой" системы значений переменных сохраняют одно и то же выделенное (отмеченное) значение."

Лит.: Витгенштейн Л., Логико-философский трактат, пер. с нем., М., 1958; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960.

>И, кстати, не во всех логиках соблюдается закон исключённого третьего.

Это верно. Логик много.

"Я. Лукасевичем была предложена трехзначная логика, основанная на предположении, что высказывания бывают истинными, ложными и возможными, или неопределенными. К последним были отнесены высказывания наподобие: «Я буду в Москве в декабре будущего года». Событие, описываемое этим высказыванием, сейчас никак не предопределено ни позитивно, ни негативно. Значит, высказывание не является ни истинным, ни ложным, оно только возможно.

Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также законами и классической логики; обратное, однако, не имело места. Ряд классических законов отсутствовал в трехзначной логике. Среди них были закон противоречия, закон исключенного третьего, законы косвенного доказательства и др..."

Теперь:

Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также законами и классической логики, а так как законы классической двузначной логике есть тавтологии, то все законы трёхзначной логики Лукасевича есть так же логические тавтологии

ЧТД


Можно написать длинно - "Двузначная классическая логика есть наука о логических законах выраженных в форме логических тавтологий." - Но можно и короче - "Логика есть наука о логических тавтологиях" (С)


Страницы