Неформально о формальной непрерывной логике

Попробуйте решить такую задачу. Установлено следующее. Утверждение 1: если школьник X имеет кое-какие навыки программирования на компьютере И поиска информации в Интернете, то он выберет специальность по IT. Утверждение 2: если школьник X недолюбливает гуманитарные науки ИЛИ полагает, что IT сулит достойный заработок, то он также выберет специальность по IT. Вопрос: в какой степени истинно утверждение A, что школьник X станет айтишником?

Ясно, что истинность утверждения A не абсолютная, так как истинность предпосылок не абсолютная. Читатели, думается, понимают, что задача не решается в рамках дискретной формальной логики, поскольку аргументы имеют непрерывные значности в интервале [0...1]. Тут требуется оценка аргументов и иная логика – непрерывная (НЛ).

НЛ является расширением многозначной логики (МЛ), и впервые была построена Я. Лукасевичем во второй половине 20-ых годов прошлого столетия на базе МЛ, открытой им на рубеже 12-13-годов. Это теперь пишут «естественное расширение», а первопроходцу понадобилось более 10-и лет, чтобы найти доказательства правомочности такого расширения. Лукасевич строил и исследовал различные непротиворечивые МЛ, обладающие свойством функциональной полноты. При исследовании новых логик, полученных наращиванием значности, Лукасевичем была обнаружена внутренняя зеркальная симметрия значностей, возникающая каждый раз после их ранжирования в порядке возрастания или убывания их силы (способности поглощать другие значностей при конъюнкции или дизъюнкции). Симметрия эта выражается в том, что значности, равноотстоящие от своих предельных величин, можно рассматривать, как взаимные отрицания. Например, если значность a входит в МЛ, представленной значностями {0,i, …, j,1} и имеет порядковый индекс k, считая от минимальной значности в порядке возрастания, то в полнофункциональной МЛ всегда присутствует значность 1-a c тем же индексом, считая от максимальной значности в порядке убывания. Другими словами i&j=0. Доказательство справедливости этого утверждения не тривиальное и было найдено позже, но Лукасевич с помощью метода математической индукции обобщил его для произвольного n n-значной логики.

Именно свойство внутренней симметрии полнофункциональной МЛ позволило Лукасевичу построить непротиворечивую полнофункциональную НЛ и исследовать её. НЛ Лукасевича работает со значностями в интервале всех чисел [0...1], при этом отрицание аргумента со значностью a равно 1-a. Лукасевичем было также показано, что законы дискретной логики (как двухзначной, так и МЛ) являются частными случаями законов НЛ.

В НЛ Лукасевича, как и в МЛ, по-прежнему дизъюнктор выбирает аргумент с максимальной значностью, а конъюнктор выбирает аргумент с минимальной значностью. Совместно с определением отрицания выводятся все остальные законы формальной НЛ Лукасевича.

Логики Лукасевича построены в базисе дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Но этот базис далеко не единственный, на котором можно строить логики. Прежде всего это зависит от того, как постулируется отрицание. Эмиль Пост разработал (однако, позже, чем Лукасевич) свою логику, в которых отрицание определено, как циклическая перестановка значности аргумента, и доказал полнофункциональность такой логики в базисе дизъюнкции и цикла. Позднее было предложено ещё несколько МЛ (Бочвар, Гёдель, Клини) в других базисах, и затем многочисленными соискателями были предприняты попытки их расширения в НЛ. Однако, по мнению большинства математиков, при интерпретации значностей аргументов, как относительных экспертных оценок, реальности наиболее адекватна именно НЛ Лукасевича, а не альтернативные НЛ. Впоследствии успех НЛ Лукасевича обусловил её распространение на произвольный отрезок чисел [A … B], о чём можно почитать здесь.

Вернёмся к нашей задаче, считая, что аргументы в результате мероприятий «установлено» оценены. Утверждение 1: если Х программирует (0,75) И «гуглит» (0,6), то выберет IT. Утверждение 2: если X не лирик (0,5) ИЛИ прагматик (0,7), то также выберет IT-специальность. По Лукасевичу степень истинности 1-го утверждения равна 0,6, а 2-го – 0,7. Оговорка «по Лукасевичу» является чрезвычайно важной. В других НЛ истинности утверждений могут иметь иные значения, а то и вовсе не вычисляться (по Б. Расселу). Кроме того, так как утверждения 1 и 2 имеют разные степени истинности, то требуется уточнение.

Такое уточнение было предложено и теоретически обосновано E. Шортлиффом. По Шортлиффу всякую новую информацию можно сочетать со старыми результатами. Сущность уточнения состоит в смещении истинности совместного утверждения в сторону абсолютной истинности (при непротиворечии!) на расстояние, зависящее от степени ложности нового утверждения. Смещение вычисляется, как произведение истинности принятого утверждения на ложность нового утверждения. Отсюда уточнённая степень истинности того, что X станет айтишником:

0,6 + 0,7*(1-0,6) = 0,88.

В нашей задаче не имеет значения, какое из утверждений считать старым, а какое новым. От этого уточнённая степень истинности не меняется; как видим:

0,7 + 0,6(1-0,7) = 0,88.

Любопытно, что некоторыми авторами предложены вычислители, называемые реляторами, способные работать в НЛ Лукасевича (Л.И. Волгин, Кувшинов). Схемы представляют собой аналоговые компараторы, управляющие КМОП-ключами, пропускающими на выход нужную аналоговую величину. Но гораздо проще обходиться старыми добрыми конструкциями if-then-else. :)

Казалось бы, в НЛ Лукасевича всё без проблем – подставляй значности аргументов и вычисляй. Ан нет. Фишка в том, что на практике численные значения аргументов обычно априорно неизвестны; более того – нередко принципиально не могут быть известны точно. Зато могут быть известны интервалы, в которых аргументы поддаются оценке. Тут мы переходим в несколько иную недвухзначную формальную логику. Именно она и нашла широкое применение в самых различных технологиях. Об этом в следующей статье.

Версия для печатиВерсия для печати

Рубрики: 

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Всего голосов: 0
Заметили ошибку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter!

Комментарии

Страницы

Аватар пользователя leo3

...а, совсем забыл - фрактальная геометрия - суть порождение экспериментальной математики

Аватар пользователя mike

В рамках темы нужно бы упомянуть и Л.Заде

Непременно. О нём, о нечёткой логике, о её применениях я планирую рассказать в следующих статьях. Наброски есть, но нужно изложить неформально, а это труднее, чем формально. Интересно, сейчас в БГУИР на каком-нибудь факе читают нечёткую логику?

Проблема четырех красок? - алгоритм доказательства был написан на 741 странице.  - то есть использование компа при доказательстве - это уже есть эксперимент?

В школе с помощью точно (!) проведённой линии были попытки доказать теоремы геометрические. ;-)

Нечёткая логика была популярна лет 10-20 назад. Использовалась в маркетинговых целях для рекламы стиральных машин автоматов. - в настоящее время для этих целей не используется. - наверное потому, что "нечёткая стирка" или "нечёткий алгоритм вождение автомобиля" не вызывает доверия у потребителя. 

Фракталы? - Объект самоподобный себе! Типа множества Кантора, нигде не дифференцируемые непрерывные функция... 

Ах, да - они же типа "встречаются в природе" , как КРУГ на воде, ТОЧКА на горизонте и ПРЯМАЯ дорога... ;-)

Аватар пользователя leo3

то есть использование компа при доказательстве - это уже есть эксперимент?


Насколько я помню проблему просто решили перебором всех возможных вариантов, то есть просто экспериментально доказали, что 4-х красок достаточно всегда...


Кроме этого, насколько я помню при помощи кмпа было доказано, что Невозможно доказать, конечное или бесконечное число решений имеет каждое уравнение из семейства алгебраических уравнений: ответ варьирует случайным образом, и, следовательно, не может быть найден с помощью математического рассуждения

Аватар пользователя leo3

Нечёткая логика была популярна лет 10-20 назад

Раньше... Она была модна 70-х, 80-х. Потом из разряда научной моды перешла в профессиональную науку. До сих пор, насколько я знаю, используется... в том числе в области кластерного анализа, например...


Аватар пользователя leo3

Фракталы?

Речь идет, прежде всего, о множетсве Мандельброта. Оно было именно открыто при помощи компьютера. То есть, мир математики - все же нечто объективное:) Ну, кроме того, например, ваш покорный слуга наткнулся на такие объекты, которые назвал клеточными симметроидами... :) Я писал про них в КВ

Множество Мандельброта было описано в 1905 году. ;-)

Но, в принципе, можно составить любые алгоритмы, которые порождали бы какие то множества на компе и также их визуализацию. - но является ли это экспериментом и как соотносится с реальным миром?

Страницы