Неформально о формальной непрерывной логике

Попробуйте решить такую задачу. Установлено следующее. Утверждение 1: если школьник X имеет кое-какие навыки программирования на компьютере И поиска информации в Интернете, то он выберет специальность по IT. Утверждение 2: если школьник X недолюбливает гуманитарные науки ИЛИ полагает, что IT сулит достойный заработок, то он также выберет специальность по IT. Вопрос: в какой степени истинно утверждение A, что школьник X станет айтишником?

Ясно, что истинность утверждения A не абсолютная, так как истинность предпосылок не абсолютная. Читатели, думается, понимают, что задача не решается в рамках дискретной формальной логики, поскольку аргументы имеют непрерывные значности в интервале [0...1]. Тут требуется оценка аргументов и иная логика – непрерывная (НЛ).

НЛ является расширением многозначной логики (МЛ), и впервые была построена Я. Лукасевичем во второй половине 20-ых годов прошлого столетия на базе МЛ, открытой им на рубеже 12-13-годов. Это теперь пишут «естественное расширение», а первопроходцу понадобилось более 10-и лет, чтобы найти доказательства правомочности такого расширения. Лукасевич строил и исследовал различные непротиворечивые МЛ, обладающие свойством функциональной полноты. При исследовании новых логик, полученных наращиванием значности, Лукасевичем была обнаружена внутренняя зеркальная симметрия значностей, возникающая каждый раз после их ранжирования в порядке возрастания или убывания их силы (способности поглощать другие значностей при конъюнкции или дизъюнкции). Симметрия эта выражается в том, что значности, равноотстоящие от своих предельных величин, можно рассматривать, как взаимные отрицания. Например, если значность a входит в МЛ, представленной значностями {0,i, …, j,1} и имеет порядковый индекс k, считая от минимальной значности в порядке возрастания, то в полнофункциональной МЛ всегда присутствует значность 1-a c тем же индексом, считая от максимальной значности в порядке убывания. Другими словами i&j=0. Доказательство справедливости этого утверждения не тривиальное и было найдено позже, но Лукасевич с помощью метода математической индукции обобщил его для произвольного n n-значной логики.

Именно свойство внутренней симметрии полнофункциональной МЛ позволило Лукасевичу построить непротиворечивую полнофункциональную НЛ и исследовать её. НЛ Лукасевича работает со значностями в интервале всех чисел [0...1], при этом отрицание аргумента со значностью a равно 1-a. Лукасевичем было также показано, что законы дискретной логики (как двухзначной, так и МЛ) являются частными случаями законов НЛ.

В НЛ Лукасевича, как и в МЛ, по-прежнему дизъюнктор выбирает аргумент с максимальной значностью, а конъюнктор выбирает аргумент с минимальной значностью. Совместно с определением отрицания выводятся все остальные законы формальной НЛ Лукасевича.

Логики Лукасевича построены в базисе дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Но этот базис далеко не единственный, на котором можно строить логики. Прежде всего это зависит от того, как постулируется отрицание. Эмиль Пост разработал (однако, позже, чем Лукасевич) свою логику, в которых отрицание определено, как циклическая перестановка значности аргумента, и доказал полнофункциональность такой логики в базисе дизъюнкции и цикла. Позднее было предложено ещё несколько МЛ (Бочвар, Гёдель, Клини) в других базисах, и затем многочисленными соискателями были предприняты попытки их расширения в НЛ. Однако, по мнению большинства математиков, при интерпретации значностей аргументов, как относительных экспертных оценок, реальности наиболее адекватна именно НЛ Лукасевича, а не альтернативные НЛ. Впоследствии успех НЛ Лукасевича обусловил её распространение на произвольный отрезок чисел [A … B], о чём можно почитать здесь.

Вернёмся к нашей задаче, считая, что аргументы в результате мероприятий «установлено» оценены. Утверждение 1: если Х программирует (0,75) И «гуглит» (0,6), то выберет IT. Утверждение 2: если X не лирик (0,5) ИЛИ прагматик (0,7), то также выберет IT-специальность. По Лукасевичу степень истинности 1-го утверждения равна 0,6, а 2-го – 0,7. Оговорка «по Лукасевичу» является чрезвычайно важной. В других НЛ истинности утверждений могут иметь иные значения, а то и вовсе не вычисляться (по Б. Расселу). Кроме того, так как утверждения 1 и 2 имеют разные степени истинности, то требуется уточнение.

Такое уточнение было предложено и теоретически обосновано E. Шортлиффом. По Шортлиффу всякую новую информацию можно сочетать со старыми результатами. Сущность уточнения состоит в смещении истинности совместного утверждения в сторону абсолютной истинности (при непротиворечии!) на расстояние, зависящее от степени ложности нового утверждения. Смещение вычисляется, как произведение истинности принятого утверждения на ложность нового утверждения. Отсюда уточнённая степень истинности того, что X станет айтишником:

0,6 + 0,7*(1-0,6) = 0,88.

В нашей задаче не имеет значения, какое из утверждений считать старым, а какое новым. От этого уточнённая степень истинности не меняется; как видим:

0,7 + 0,6(1-0,7) = 0,88.

Любопытно, что некоторыми авторами предложены вычислители, называемые реляторами, способные работать в НЛ Лукасевича (Л.И. Волгин, Кувшинов). Схемы представляют собой аналоговые компараторы, управляющие КМОП-ключами, пропускающими на выход нужную аналоговую величину. Но гораздо проще обходиться старыми добрыми конструкциями if-then-else. :)

Казалось бы, в НЛ Лукасевича всё без проблем – подставляй значности аргументов и вычисляй. Ан нет. Фишка в том, что на практике численные значения аргументов обычно априорно неизвестны; более того – нередко принципиально не могут быть известны точно. Зато могут быть известны интервалы, в которых аргументы поддаются оценке. Тут мы переходим в несколько иную недвухзначную формальную логику. Именно она и нашла широкое применение в самых различных технологиях. Об этом в следующей статье.

Версия для печатиВерсия для печати

Рубрики: 

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Всего голосов: 0
Заметили ошибку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter!

Комментарии

Страницы

Аватар пользователя mike

Тоже физика. А выше тоже логика. Ну, ты уже понял, почему нельзя сводить  логику к тавтологиям?

Тавтология - это Закон. - Можно выбросить из Логики(любой) тавтологии, но это равносильно выбрасыванию из них Законов. - Но Логика без Законов логики - это не логика. - Это как физика без законов физики, например.

Аватар пользователя mike

Естественно,  любая наука без законов -- не наука. Но ты опять  передёргиваешь. Из утверждения, что из науки крайне сложно  выбросить открытые законы (а впрочем, почему нельзя? Ведь выбросили же планетарную модель атома!) никак не следует, что наука сводится к раз навсегда открытым законам. А ты это пытаешься сделать, повторяя на все лады, что логика -- это тавтологии (всегда истинные высказывания) и ничего больше. Читать тебе больше надо. Извини, но ты отстал, и это факт.

>Из утверждения, что из науки крайне сложно  выбросить открытые законы (а впрочем, почему нельзя? Ведь выбросили же планетарную модель атома!) никак не следует, что наука сводится к раз навсегда открытым законам.

В Науке НЕ выбрасывают никаких открытых ею законов, в Науке просто меняются парадигмы. - В Науке НЕ выбрасывают ничего, если это уже открыто. - Происходит смена парадигм.

>А ты это пытаешься сделать, повторяя на все лады, что логика -- это тавтологии (всегда истинные высказывания) и ничего больше.

Логика это НЕ тавтология - "Логика - это наука о логических тавтологиях" (С) - И я именно так и писал, именно такими слова, именно это выражение и использовал в самом начале и всегда(!), из которого нельзя выбросить ни одного слова, чтобы не исказить суть!

Аватар пользователя mike

В Науке НЕ выбрасывают ничего

Выбрасывают. Выбросили же систему Птолемея. И флогистон выбросили.

И я именно так и писал, именно такими слова, именно это выражение и использовал в самом начале и всегда(!), из которого нельзя выбросить ни одного слова, чтобы не исказить суть!

Имеешь право хоть дома на стенке написать. И даже думать так же. Не карается. Но сути это не меняет: логика уже давно работает не только с абсолютными истинами (тавтологиями.)

>Но сути это не меняет:

Ага - металлургия - это не ТРУБА и не утюг, а Логика у тебя - бац - тавтология!

>Выбрасывают. Выбросили же систему Птолемея. И флогистон выбросили.

Да ничего не выбросили. Поменяли парадигму. И всё.

Если будет удобно опять когда-то пользоваться таблицами птолемеевскими для плавания по морям и океан - найдут и используют. - Как постоянно пользуются механикой Ньютона, а не OTO. - Что практичнее, то и используют.

Аватар пользователя mike

Логика у тебя - бац - тавтология!

Не обвиняй в том, что сам доказывал.

ничего не выбросили. Поменяли парадигму.

Путаешь парадигму с моделью.

Если будет удобно опять когда-то пользоваться таблицами птолемеевскими для плавания по морям и океан - найдут и используют

В мореходной астрономии не пользовались "таблицами птолемеевскими".

>Не обвиняй в том, что сам доказывал.

Не уж, я нигде не писал, что:

Из того, что "Металлургия - это наука о выплавке и обработке металла" следует что "Металлургия - это металл" - НЕТ!

Из того, что "Логика - это наука о логических тавтологиях" (С) следует что "Логика - это тавтология" - НЕТ!

Это ты уже сам додумал. Но это неверный вывод из верного посыла!

>Путаешь парадигму с моделью.

Как можно совместить парадигму "дальнодействия" с парадигмой "близкодействия" - Как? - Но это не повод отбрасывать механику Ньютона. - Так никто и не отбрасывает. Так и живут. Теперь.

Это ранее страдали:

«Сегодня, излагая электромагнитную теорию, я утверждаю, что движущийся по криволинейной орбите электрон излучает энергию, а завтра я в той же аудитории говорю, что электрон, вращаясь вокруг ядра, не теряет энергии. Где же истина, если о ней можно делать взаимно исключающие друг друга утверждения? Способны ли мы вообще узнать истину и имеет ли смысл заниматься наукой?» (Лоренц).

«Я потерял уверенность, что моя научная работа вела к объективной истине, и я не знаю, зачем жил; жалею только, что не умер пять лет назад, когда мне еще все представлялось ясным». (Лоренц).

Аватар пользователя mike

Логика - это наука о логических тавтологиях

О том, что логика, как наука, не сводится к логическим тавтологиям, знал ещё Аристотель. И в твоём цитатнике это есть. Прочитай внимательнее.

Страницы