Фигуры, изображенные на рисунках ниже, являются фракталами. Вместе с красотой фракталы сочетают в себе строгую закономерность построения. В общем случае данная закономерность заключается в принципе самоподобия, в соответствии с которым построение осуществляется многочисленными подобными друг другу стадиями.

Возникновение рассматриваемых фигур можно продемонстрировать на примере фракталоидов, открытых автором. Известно, что любая математическая теория основывается на трех элементах - аксиомах, логике и теоремах. При этом из аксиом посредством логики выводятся теоремы, которые, будучи выведенными, сами становятся аксиомами. В этом смысле фракталы и фракталоиды - наглядная демонстрация математической теории, доступной каждому.

Возможно, вы обращали внимание, что в графическом редакторе Paint есть функция нанесения рисунка по пикселям, осуществляемая посредством представления рабочего окна в виде сетки. Положим, что мы нанесли таким образом некоторый начальный рисунок, который и будет являться аксиомой. Теперь очертим вокруг рисунка квадрат некоторого размера PxP, который охватит все окрашенные пиксели. Посчитаем количество окрашенных и неокрашенных пикселей в квадрате - Q. После этого образуем новый квадрат, который содержит пустые исходные квадраты (размера PxP) в количестве Q. Посмотрим на исходный квадрат-аксиому. Если некоторая точка в нем закрашена, то в новом большом квадрате - квадрат, соответствующий этой точке, принимает вид квадрата-аксиомы. В "неокрашенном" случае - соответствующая часть большого квадрата остается пустой. В данной теории эти правила вывода представляют логику. Вместе с тем мы получили теорему в виде нового квадрата, который теперь можем использовать в качестве аксиомы, чтобы, применяя ту же самую логику (правила), получить новую теорему - еще больший квадрат с характерным рисунком. Так может продолжаться бесконечно, а в пределах Paint - около 5 раз. На рисунке ниже- исходный квадрат-аксиома расположен в верхнем углу. Поскольку он состоит из 4 маленьких квадратов, то получаемый квадрат-теорема (следующий по величине) состоит из 4 квадратов размера квадрата-аксиомы. При этом, поскольку в квадрате-аксиоме правый верхний угол пуст, то в квадрате-теореме правый верхний из четырех квадратов не принимает вид квадрата-аксиомы (а остальные - принимают). Самый большой из изображенных квадратов получается по тем же правилам с той лишь разницей, что в качестве квадрата-аксиомы теперь выступает квадрат-теорема из прошлого случая.

Рассмотрение фракталоидов посредством использования идеи математической теории обобщает понятие фрактала (в дискретном случае). Последний из полученных выше рисунков является так называемым треугольником Серпинского, к которому мы пришли, используя более общие (в сравнении с классическими) принципы построения.

Данный подход позволяет взглянуть на фрактал и как на трехмерный объект. Нетрудно представить, что описанный метод подойдет для изображения, пиксели которого расположены в пространстве. В этом случае вместо квадрата надо использовать куб, а в еще более общем случае - прямоугольный параллелепипед. Незначительно видоизмененные правила, отображающие данный принцип, приводят к результатам, продемонстрированным на рисунке.

Идея обобщения является фундаментальной в математике, и ее легко продемонстрировать на примере фракталов. Дальнейшим обобщением в рассмотренном случае может быть, например, раскрашивание фракталов, которого опять же - можно добиться видоизменением соответствующей логики построения. В этом случае, используя понятие остатка от деления, можно будет заметить, что описанные правила соответствуют умножению по модулю 2, то есть двухцветному, черно-белому рисунку. Отсюда, естественным образом применяя умножение по произвольному модулю, можно будет получить фрактал, сочетающий любое количество цветов. Двухмерный пример такого рисунка представлен на рисунке.

Фракталы обладают удивительным разнообразием форм, и их часто используют для имитации или даже моделирования природных объектов. Одним из соответствующих примеров является фрактальное дерево. В качестве аксиомы здесь выступает отрезок ("ветка") длины l. Из середины этой ветки под углом 30° выходит другая ветка, длина которой уменьшена в два раза. Многократно применяя данное правило к каждой новой ветке, мы и получим ("вырастим") "дерево". Видно, что не все фракталы напоминают реальные объекты (хотя приведенные нами трехмерные изображения показывают, что, в частности, фракталоиды способны имитировать античную архитектуру, что не может не вызвать ассоциаций с идеями Платона). Этот, казалось бы, недостаток с учетом простоты построения фрактала нашел применение в имитации невидимых, клеточных и молекулярных явлений. Так, например, можно имитировать броуновской движение пылинки в жидкости.

Рассуждая более широко, фракталы - лишь наглядная иллюстрация некого природного принципа, который уже давно известен математике. Рассмотрим функцию 2x, которая, к примеру, значению x, равному 3, ставит в соответствие удвоенное значение - 6. Здесь 3 - это аксиома, 2x - логика, а 6 - теорема, которую можно повторно использовать в качестве аксиомы, получив 12. Далее - 24, 48, 96 и т.д.

Отличительная черта фракталов - наглядность возникновения конструкций, однако на сегодняшний день под ними все чаще понимаются лишь определенные рисунки, которые получаются по фиксированному набору логик. Наоборот, распространено углубленное рассмотрение отдельной логики построения, осуществляемое вариацией аксиом. Так, благодаря суперпозиции функции комплексного переменного можно получать фракталы Мальденброта, которые, будучи раскрашенными в соответствии с номером суперпозиции, воспроизводят удивительные по красоте рисунки (их примеры приведены вначале).

Сложно судить о том, насколько сама природа своими удивительными объектами и явлениями может способствовать развитию рассмотренного направления. С одной стороны, теория фракталов, как мы видели, полностью возникает из принципов построения математической теории. Ввиду этого развитие фрактальной теории целиком обусловлено исследованиями в области математической логики. С другой стороны, безусловно, природа служит бескрайним источником примеров логик, которые можно использовать непосредственно при построении фракталов. Остается заметить - последнее обстоятельство весьма ценно, поскольку соответствующие исследования позволили бы глубже изучить саму природу на ее моделях.

Эльмар ГУСЕЙНОВ