Напомню, что в бесконечнозначной логике (БЗЛ) значность может принимать непрерывные значения от абсолютной лжи (т.е., нуля) до абсолютной истины, т.е. единицы. Если посмотреть на отрезок [0,1] с другой стороны, то получается та же БЗЛ, но отрицательная, что и было доказано Лукасевичем. В нечёткой логике (НчЛ) чёткое отрицание идеально зеркально отражает (или, как говорят математики, отображает) элементы нечёткого множества. Но в жизни такое происходит не строго: зеркала бывают и кривыми. Поэтому введенное Лукасевичем чёткое отрицание логической значности, как вычитание из единицы, в НчЛ получило дальнейшее расширение, и стало называться нечётким отрицанием. Что это такое?

В настоящее время нечётким отрицанием называют такое отображение множества непрерывных значностей [0,1], в котором обязательно:

• абсолютная истина становится абсолютой ложью,

• абсолютная ложь становится абсолютной истиной,

• знак неравенства при сравнении любой пары отображаемых элементов меняется на противоположный.

Различают сильное и слабое нечёткое отрицание. При сильном отрицании повторное такое же отрицание восстанавливает значность любого элемента. При слабом отрицании выполнение этого условия не является обязательным. Вспомните слабое женское «нет». :) Сильное отрицание называют словом «инволюция», хотя некоторые авторы считают, что смешивать эти понятия не следует.

Из определения нечёткого отрицания следуют свойства его графического представления:

• монотонно-убывающая кривая,

• симметрия инволюции относительно биссектрисы первого квадранта.

Нечётких отрицаний может быть бесконечно много: зеркала могут иметь разную кривизну. Как и всякие функции, нечёткое отрицание может быть задано аналитически, графически и таблично. Приведу примеры аналитического задания нечётких отрицаний. Нечеткое «не» по Сугено (1977) или лямбда-отрицание определяется, как частное, в числителе которого находится классическое отрицание по Лукасевичу (вычитание функции соответствия из единицы), а в знаменателе – сумма с единицей произведения функции соответствия на параметр, который больше, чем -1. Нечеткое «не» по Ягеру (1980), определяется как неотрицательный корень из отрицания по Лукасевичу. Что такое функция соответствия – смотрите, пожалуйста, в предыдущей статье, посвящённой логике.

Наша жизнь – это сплошные нечёткие отрицания: мы ссоримся, миримся, спорим, интерпретируем факты. В зависимости от того, как складываются отношения между сторонами, представление нечёткого отрицания может быть разным. Далее я покажу, что стОит совсем немного изменить отношения, и развитие их может пойти по пути разжимающего нечёткого отрицания, а может пойти и по пути сжимающего нечёткого отрицания. Сжимающее и разжимающее отрицание – это уже вполне устоявшиеся термины в формальной нечёткой логике.

Давайте взглянем на рисунок, приведенный ниже. Чёткое отрицание – а это уже знакомое нам отрицание по Лукасевичу (вычитание из единицы) – представлено прямой, соединяющей истины. Однако в жизни так не бывает. В жизни всегда есть место субъективизму, поэтому линия Лукасевича теряет жёсткость и может искривляться. Всё зависит от того, как именно она искривится.

Допустим, во время спора функции соответствия каждой из участвующих сторон обсуждаемому терму зависят друг от друга, как показано некой кривой. Раз задано представление нечёткого отрицания, то всегда можно проследить за развитием спора, какой бы ни была отправная точка на оси абсцисс. Для этого необходимо понимать, что 1) с точки зрения стороны противоположной стороны нечёткое отрицание, как и всякая функция, будет представлено обратной функцией и 2) вспомнить, что обратная функция имеет свойство осевой симметрии относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов. Этого достаточно, чтобы определить координаты точки зрения противоположной стороны по координатам исходной точки, и наоборот, и так далее. Для этого необходимо спроектировать ординату исходной точки на биссектрису первого квадранта, и полученную точку спроектировать на кривую исследуемого нечёткого отрицания. Всё!

Итак, смотрим на нечёткое отрицание, представленной синей кривой. Можете убедиться, что какой бы не была отправная точка на этой кривой, отрицание будет разжимающим. В результате итераций стороны придут к неустранимому противоречию во взглядах на предмет дискуссии, и последняя превратится в неконструктивную полемику.

Давайте немного изменим кривизну нечёткого отрицания так, как это показано красной кривой, и проделаем то же самое. Ба! Точки зрения сторон при итерациях начинают сближаться и, наконец, находится точка, единая для обеих сторон. Эта точка зрения может выражать, как приятие, так и неприятие обсуждаемого терма (понятия, высказывания, утверждения) или же выражать неясность ситуации (конечные координаты около 0,5-0,5), но главное – стороны единодушны.

Даже школьник видит, что представленные итерации легко могут быть выполнены программно. Однако, почему так получается? Почему в одном случае стороны приходят к антагонизму, а в другом, казалось бы, не слишком отличающимся, к согласию? Что изменилось? Об этом и о других нечётких операциях – в одной из следующих статей. Постараюсь привести примеры, касающиеся IT. Если, конечно, уважаемые пользователи сайта проявят интерес.