Как много горошинок или дробинок поместится в мешок заданного объема, или сколько сыпучего материала - сахарного или обычного песка, цемента, крупы, муки - войдет в данную емкость? Оказывается, этот практически важный вопрос имеет долгую и славную историю, а ответ на него был найден совсем недавно, в текущем году, причем, как всегда, не обошлось без компьютеров.

Еще в 1611 году знаменитый астроном Иоганн Кеплер сформулировал проблему, не имеющую отношения к астрономии: каким образом следует укладывать одинаковые сферы, чтобы наиболее плотно заполнить ими некоторый объем? Кеплер предположил, что наиболее плотная упаковка сфер - это та, которая уже давно была известна бакалейщикам и артиллеристам, укладывающим фрукты и пушечные ядра "пирамидой". А именно, нужно укладывать сферы слоями, так, чтобы в первом слое каждая сфера касалась шести соседок, а в каждом следующем слое каждая сфера лежала в ямке, образованной тремя соседними сферами предыдущего слоя. На ученом языке такая упаковка сфер называется гранецентрированной кубической решеткой, в ней сферы занимают 74% пространства, а на пустоты между ними приходится 26%, и именно так природа укладывает атомы в кристаллах золота и меди. Но ни самому Кеплеру, ни многим следующим поколениям любителей и профессионалов не удалось доказать, что более плотной упаковки сфер не существует. И лишь в 1998 году математик Томас Хейлс нашел компьютерное доказательство того, что предположение Кеплера было правильным.

Итак, с ядрами и апельсинами все разъяснилось: наука теперь знает, что их надо укладывать так же, как прежде, и что плотнее не получится. Но вот беда: как быть с сыпучими материалами? Ведь никто же не станет укладывать вручную каждую крупинку, чтобы сэкономить несколько процентов объема: просто засыпет, ну и, возможно, встряхнет пару раз, да и всё. А какой максимальный процент объема могут занимать одинаковые сферы при случайной упаковке? Это тоже старинный вопрос. Еще в XVIII веке его изучал экспериментально, на обычном горохе, британский священник Стивен Хейлс (возможно, предок математика Томаса Хейлса). В его опытах горошины занимали после утруски около 60% объема, что далеко от плотнейшей упаковки Кеплера, в которой сферы располагаются совсем не случайным образом. В 1969 году Скотт и Килгор выполнили эксперименты со свинцовой дробью, аналогичные "гороховым" опытам Хейлса, и зарегистрировали плотность случайной упаковки сфер, равную 63.7%. В 70-х и 80-х годах компьютеры настолько подросли и поумнели, что эксперименты по случайной упаковке сфер стало выгодно проводить на них, путем компьютерных симуляций. И проводили. И обнаружили, что если "трясти" очень долго, то можно утрясти сферы до заполнения ими 68% объема. Тогда-то и возникло подозрение, что неограниченная во времени "компьютерная утруска сфер" приведет в конце концов к плотнейшей упаковке Кеплера, которая никак не может называться случайной. Парадокс.

Как это часто случается в науке, парадокс оказался чисто терминологическим, заключенным в определениях. В статье, опубликованной недавно в журнале "Physical Review Letters", Сэл Торквато и его коллеги из Принстонского университета доказали, что "наиболее плотная случайная упаковка сфер" есть плохо определенное понятие, недостойное внимания физиков, математиков и компьютерщиков, и взамен ему предложили новое понятие: "максимально случайное зажатое состояние сфер". "Зажатое" - это значит, что ни одну сферу нельзя сдвинуть с места, не потревожив других сфер. Упаковка Кеплера, например, тоже "зажатое состояние сфер", но не случайное. А вот с определением "максимально случайного" Торквато и его команде пришлось попотеть, но они и с этим управились, опираясь на нечто, подобное физическому понятию энтропии - меры разупорядоченности системы (ага, и Шеннон без энтропии не обошелся, когда определял количество информации). После чего, методом компьютерных симуляций и без особых затруднений, принстонские ученые нашли, что в "максимально случайном зажатом состоянии" сферы занимают 64% объема. Вот она, сила точных слов!

Значит, Скотт и Килгор, экспериментировавшие с дробью, были правы. А вместе с ними - и священник Хейлс, на досуге удовлетворявший свое и наше с вами любопытство опытами с обыкновенным горохом. Монах Мендель тоже горохом занимался, но это - совсем другая история.

Иван ЖИЛИН,
sci@au.ru