Вопрос: что может быть общего между великим астрономом, южными фруктами, старинной артиллерией, кристаллами золота, математическим конгрессом, массовой компьютеризацией и оптимальными кодами?

Ответ: наше интересное время.

В 1611 году 40-летний астроном Иоганн Кеплер, впоследствии попавший в школьные учебники за совсем другие заслуги, обратил внимание на факт, хорошо известный в его дни каждому лавочнику и артиллеристу. А именно: если требуется максимально плотно заполнить пространство одинаковыми шарами, будь то аппетитные апельсины или пушечные ядра, то следует укладывать их плоскими слоями, причем в первом слое каждый шар должен касаться шести соседей, а шары каждого следующего слоя укладываются в ямки, образованные тройками шаров предыдущего слоя. При такой упаковке шары занимают примерно 74% объема, а точное значение плотности этой упаковки - pi/sqrt(18). Именно так матушка-природа укладывает атомы в кристаллах меди, серебра, золота, и называется эта упаковка шаров гранецентрированной кубической решеткой. Ученые часто подвергают сомнению очевидные вещи, про которые "простые люди" говорят: "И коню понятно, что..." Иногда выясняется, что "конь" глубоко заблуждался, как это было с расхожим мнением, что тяжелые тела падают быстрее легких. В иных случаях оказывается, что "здравый смысл" все-таки торжествует, но и тогда ученые радуются, потому что "в тылу" у них не остается опасных нерешенных проблем. Так или иначе, но сомневаться полезно. Потратив много сил и времени на размышления и эксперименты с шарами, Кеплер стал на точку зрения лавочников и артиллеристов и сформулировал гипотезу о том, что "апельсиново-ядерная" упаковка шаров в трехмерном пространстве является самой плотной. Он не сумел доказать свою гипотезу, и она, несмотря на усилия лучших математиков, оставалась недоказанной еще 387 лет - дольше знаменитой теоремы Ферма. Наконец, 19 августа этого, 1998, года Томас Хейлс из Университета штата Мичиган, США, разослал всем коллегам e-mail о том, что он завершил доказательство гипотезы Кеплера. Великий астроном был бы очень рад, хотя ему и не снилось, КАК будет доказана его гипотеза и ГДЕ будет опубликовано доказательство.

Гипотеза Кеплера долго дразнила математиков элементарностью своей формулировки и абсолютной неуязвимостью для анализа. На протяжении XVII-XIX веков ее атаковали и профессионалы, и любители - с нулевым результатом. На Международном математическом конгрессе, состоявшемся в 1900 году в Париже, ведущий математик мира Давид Гильберт огласил свой знаменитый список из 23 проблем, решить которые XIX век завещал XX веку. Проблема №18 содержала в себе гипотезу Кеплера. Высочайший авторитет Гильберта вызвал настоящий штурм этой упрямой древней задачи. Однако результаты начали появляться только через полвека, зато сразу на двух направлениях атаки. На первом направлении сумели "придавить" сверху максимально возможную плотность упаковки шаров: в 1947 году Рэнкин доказал, что она не превышает 83%, в 1958 году Роджерс - 78%, в 1993 году Мадер - 77%. Оставалось так мало до заветного числа 74%, но успеха добились на втором направлении. В 1953 году венгерский математик Фейес-Тоз обнаружил, что доказательство гипотезы Кеплера сводится к колоссально сложному, но конечному вычислению типа отыскания максимума функции огромного числа переменных, и высказал робкую надежду, что компьютеры будущего с таким вычислением справятся. И не ошибся! Томас Хейлс свел проблему к нахождению максимума нелинейной функции 150 переменных и сломал ее грубой компьютерной силой. Его доказательство шло в пять этапов. Первый был завершен в 1994 году, еще три этапа Хейлс прошел в одиночку, а последний взял на себя ученик Хейлса Сэмьюэл Фергюсон, превзошедший учителя в искусстве программирования. В результате 19 августа этого года мир узнал, что Кеплер был прав.

В наши дни компьютерное доказательство - уже не новость. Но о двух аспектах работы Хейлса и Фергюсона - о программном обеспечении и о форме публикации - стоит упомянуть. Многочисленные и очень сложные неравенства, связанные с доказательством гипотезы Кеплера, анализировались пакетом интервальной арифметики, специально написанной на C++ библиотекой. Все комбинаторные возможности доказательства перебирались генератором графов - Java-апплетом. Универсальная программа Mathematica производства компании Wolfram Research интенсивно использовалась от начала до конца проекта для алгебраических и численных экспериментов и визуализации. Увы, для Фортрана не нашлось работы - вот какая нынче наука пошла... А публикация? От такой публикации ученый старой закваски хрестоматийно завопит: "О, времена! О, нравы!" Пока только две из шести статей, описывающих доказательство, опубликованы в бумажных журналах - это всего лишь первые два этапа работы Хейлса. Редакторы и рецензенты бумажных изданий никуда не спешат... Потому что они уже опоздали. Каждый желающий может взять в Интернете прямо у авторов все 6 статей объемом 250 страниц в формате postscript, а еще - целых 3 гигабайта их программ и данных, и изучать в свое удовольствие, потому что всё это хозяйство и есть доказательство гипотезы Кеплера. А без Интернета этого доказательства вроде бы как и нет!

У Вас, уважаемый читатель, может возникнуть философский вопрос: "А зачем она вообще нужна, эта математика, и стоит ли тратить на нее столько сил, времени и денег?" Представьте себе картинку: на ринге скачут, размахивая кулаками, два Homo sapiens'а. Проблема: кто из них сумеет вырубить противнику на 10 и более секунд истинное чудо природы - нейрокомпьютер? На решение таких проблем человечество охотно тратит намного больше сил, времени и денег, чем оно затратило на проблему Кеплера или, скажем, на эрмитовы матрицы. А теперь попробуйте подсчитать, в каком числе мест в Вашем компьютере работают эти самые матрицы, придуманные Шарлем Эрмитом в XIX веке. Лично я сбился со счета. Разумеется, сегодня гипотеза Кеплера в ее классическом варианте лежит уже в области истории и эстетики. Однако проблема наиболее плотной упаковки шаров в n-мерном пространстве еще ждет решения и имеет огромный научно-технический потенциал. Так, в 60-х годах англичанин Джон Лич открыл очень плотную упаковку шаров в 24-мерном пространстве, и решетка Лича была положена в основу эффективного кодирования информации, применяемого в сверхдальней космической связи. Подчеркну, что упаковка Лича "очень плотная", но не "самая плотная", да и на размерности 24 свет клином не сошелся. Поэтому для будущих тьюрингов, шеннонов и конвеев работы хватит. Им-то и адресована моя статья в первую очередь. И специально для них я добавлю, что, к счастью, не всегда надо иметь дорогостоящие коллайдеры, телескопы и суперкомпьютеры, чтобы оставить свой след в науке и добрую память в истории. Хейлс и Фергюсон обсчитывали гипотезу Кеплера не на суперкомпьютере, а на PowerMac'е не первой свежести. Следовательно, то же можно сделать и на современном "игровом" PC - БЫЛО БЫ ЖЕЛАНИЕ!

Сергей СЕРЫЙ