Атмосфера Юпитера представляет собой, наверное, одно из самых захватывающих зрелищ в Солнечной системе. Между ледяным холодом космического пространства и тысячеградусной жарой в глубинах атмосферного океана гигантской планеты зарождаются циклопические облачные вихри самых причудливых форм (см. рис. 1).

Рис. 1

Зоны турбулентности обрамляют загадочные устойчивые структуры типа знаменитого красного пятна - ни с чем земным не сравнимая по своей мощи и масштабам величественная и бесцельная игра формотворящих сил природы. Заурядный юпитерианский вихрь мог бы, наверное, запросто поглотить весь наш земной мир, не претерпев при этом существенных изменений. К вызывающим восхищение и трепет эволюциям юпитерианских облачных масс в равной степени приложимы такие понятия, как "сложность" и "красота". Герменевтика - одно из ведущих направлений в современной западной философии - утверждает, что истинный смысл понятий уже скрыт в самом естественном языке, нужно лишь суметь его увидеть и расшифровать. Естественные языки базируются на веками отшлифованных интуитивных конструкциях, которые, зачастую, адекватнее отображают истину, нежели любые искусственные теоретические построения. Понятия "сложность" и "красота" относятся к тем базовым конструкциям языка, которые совершенно бесполезно пытаться определить через что-то иное. В этих попытках мы обязательно упремся в тавтологию или более узкий синоним. В структуре русского языка в понятие "сложность" вплетено представление о складывании, сложенности, сложении, складке. Что, кстати, вполне соответствует юпитерианским облачным пейзажам. В самой ассоциативной основе слова заложены принципы складывания, многократного перегибания, вложения одного в другое.

Недавно, просматривая старые номера журнала "В мире науки" (русское издание известного научно-популярного журнала Scientific American (www.sciam.com), которое было успешно похоронено в развалинах перестройки), я наткнулся на описание кривой под названием "Безумие". Кривая была случайно получена в процессе любительских опытов С. Миллером и описана А.К. Дьюдни в рубрике "Занимательный компьютер" (см. А.К. Дьюдни. Графотворчество невидимого профессора, скрытого за экраном дисплея// В мире науки - 1988/№7). Ее сложные и красивые формы побудили меня воспроизвести "Безумие" на своем компьютере по приведенным в статье параметрическим уравнениям (рис. 2).

Рис. 2

Форму этой кривой, несомненно, можно определить как сложную. Но в то же время она строится по единому закону при помощи совсем нехитрого программного кода.

Dim i As Integer
Dim j As Integer
Sub Form_click()
 Cls
 pi = 3.141593
 For t = 0 To 100 * pi Step 0.001 * pi
  x = Sin(0.99 * t) - 0.7 * Cos(3.01 * t)
  y = Cos(1.01 * t) + 0.1 * Sin(15.03 * t)
  i = 150 * x + 300
  j = 150 * y + 300
  PSet (i, j)
 Next t
End Sub

Рассматривая изображения сложных кривых, мы далеко не всегда можем угадать тот закон, по которому они построены, но всегда интуитивно ощущаем его присутствие. Оно проявляется в гармонии форм, симметрии и порядке. Не вполне адекватно было бы употреблять эпитет "сложный" по отношению, например, к мотку спутанных кабелей, но по отношению к умопомрачительному переплетению проводов в недрах корпуса суперкомпьютера он более чем уместен. Понятие "сложность" предполагает не столько простое случайное нагромождение деталей, сколько упорядоченную структуру, подчиненную некой единой внутренней логике. Кривая Миллера не только сложна, но и красива. Рассматривая ее, получаешь отчетливое эстетическое наслаждение. То же самое можно сказать и о сложных нелинейных поверхностях, о которых велась речь в некоторых моих прошлых статьях (№29 1999 г., №2 2000 г. и №13 2000 г.). Таким образом, сложность внутренне связана с красотой. Когда множество деталей картины или литературного текста гармонично объединены общей идеей, все произведение воспринимается, в целом, как красивое. Чем глубже идея, лежащая в основе произведения искусства, чем адекватнее использованные автором художественные средства выражают эту идею, тем выше эстетическая ценность всего произведения. Разница состоит в том, что кинолента, картина или стихотворение обычно базируются не на математических законах, а на законах философских, этических или нравственных. Интересно, что при замене гуманитарной идеи на математическую закономерность человеческое антропоморфное восприятие феномена красоты сохраняется, и само понятие "красиво" оказывается вполне применимо к таким формально далеким от искусства геометрическим объектам, как кривые и поверхности.

Впрочем, математические закономерности играют немаловажную роль и в традиционных искусствах. В живописи используются гармоничные сочетания цветов и геометрия перспективных проекций. Музыка воспринимается как музыка только в том случае, если частоты звуков находятся в определенных взаимных математических соотношениях друг с другом. Поэтому музыкальные пьесы и стихи, созданные при помощи компьютерных программ, в которые заложены лишь соответствующие математические закономерности, в принципе, воспринимаются именно как музыка и стихи. Художественное качество этих произведений, конечно, весьма спорно, но факт их восприятия именно как произведений искусства не вызывает сомнений.

В принципе, красоту можно определить как эмоциональное измерение сложности, как специфику человеческого восприятия сложности. Одним из фундаментальных принципов, на котором базируется феномен сложности, является рекурсия. В основе большинства сложных структур лежат именно рекурсивные принципы построения. В моих прошлых статьях в "КВ" приводились изображения нескольких известных геометрических объектов - Снежинки Коха, Драконовой ломаной и треугольника Сиерпинского. К их форме в равной степени приложим эпитет - "сложная". Причем сложность этих объектов возрастает по мере увеличения порядка. Все они относятся к рекурсивно порождаемым самоподобным геометрическим структурам. Мы уже говорили о том, что в самой ассоциативной основе русского слова "сложность" или, например, белорусского аналога "складанасць" заложен принцип складывания, закладки одного в другое, плотной упаковки некоего многократно сложенного целого. Перечисленные объекты как нельзя лучше подходят под этот ассоциативный ряд. Драконова ломаная, например, есть не что иное, как многократно сложенный прямым углом отрезок. Снежинка Коха - есть не что иное, как многократно скомканный контур звезды Давида. Треугольник Сиерпинского - это многократно вложенный сам в себя треугольник. При этом "складанасць", или сложность перечисленных объектов представляет собой результат многократного применения некоего элементарного рекурсивного алгоритма "складывания" к некоей простейшей изначальной геометрической основе. Эти примеры как нельзя лучше иллюстрируют понятия "сложность" - лаконичная общая идея и составной результат с обилием деталей, но деталей не случайных, а порожденных единой логикой организации объекта.

Настоящим зримым воплощением понятия "сложность" являются комплексные фрактальные множества Мандельброта и Жюлиа. Порождаемые элементарным нелинейным отображением фрактальные структуры комплексных множеств так много говорят о философских принципах устройства нашего мира, что кто-то из ученых метко назвал их отпечатком большого пальца Бога. Их формы сколь сложны, столь и великолепно красивы. По существу, одна математическая формула породила целое направление в изобразительном искусстве - фрактальное искусство. В Сети выставлено множество фрактальных галерей, содержащих сотни живописных компьютерных произведений. Заинтересованный читатель может сам попробовать свои силы в этой области, воспользовавшись несложными программными кодами, приведенными в моих статьях ("КВ" №16, 1999 г. и №2, 2000 г. Изображения, приведенные на рисунках 3 и 4, получены именно при помощи этих программ).

Рис. 3	Рис. 4

Тот факт, что сложные геометрические структуры способны вызывать сильные эстетические чувства, убедительно свидетельствует в пользу тезиса о том, что сложность и красота - родственные по своей природе и смысловому содержанию понятия. Кроме того, сложность и красота представляют собой не только чисто субъективные гуманитарные характеристики предметов. Они имеют под собой и определенные объективные математические корни. Давно замечена, например, связь красоты и знаменитого соотношения золотого сечения. Кстати сказать, определение золотого сечения также основано на рекурсивной идее бесконечного деления отрезка. Есть все основания надеяться, что изучение феноменов нелинейности и фрактальной геометрии приблизят нас к более глубокому пониманию природы сложности и природы красоты. По выражению московского философа В.И. Самохваловой, "мудрость красоты в том, что она есть интуитивное постижение самой сути вещи в логике ее проявления, в совершенстве той организации вещи, которая отвечает закономерностям ее развития" (цит. по Самохвалова В.И. Красота против энтропии. - М.: Наука, 1990. - с.79).

А. КОЛЕСНИКОВ,
[email protected]